题目内容
5．双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2，抛物线y2=2px（p＞0）过点A，则该抛物线的方程为（ ）| A． | y2=9x | B． | y2=4x | C． | y2=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$x | D． | y2=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$x |
分析 求出双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，F点坐标为（$\sqrt{13}$，0），利用|AF|=2，求出A的坐标，代入y2=2px，求出p，即可求出抛物线的方程．
解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，F点坐标为（$\sqrt{13}$，0），
设A点横坐标为x，则y=±$\frac{2}{3}$x，
由|AF|=2得$\sqrt{（x-\sqrt{13}）^{2}+（±\frac{2}{3}x）^{2}}$=2
∴x=$\frac{9}{\sqrt{13}}$
∴y=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$，代入y2=2px得p=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，所以，y2=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$x，
故选：C．
点评 本题考查抛物线方程，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，求出A的坐标是关键．
练习册系列答案
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20．
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如图，已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，则双曲线C的离心率为（ ）| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{7}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{39}}{6}$ | D． | $\sqrt{3}$ |