Question

（2009•武昌区模拟）如图，在半径为

6

cm，圆心角为60°的扇形OAB中，点C为弧AB的中点，按如图截出一个内接矩形，则矩形的面积为

3

cm²．

Answer 1

分析：过B作BM⊥AO，交FC于点N，交AO于点M，由在半径为

6

cm，圆心角为60°的扇形OAB中，点C为弧AB的中点，知∠DOC=∠BOC=30°，FC=OF．由CD⊥AO，知DC=

1

2

OC=

6

2

．在△BMO中，∠BOM=60°，∠BMO=90°，OB=

6

，所以∠OBM=30°，OM=

6

2

，BM=

3 2

2

，BN=

3 2 - 6

2

．设FN=x，则BF=2x，则4x2-x2=(

3 2 - 6

2

)2，BF=2x=

6

-

2

，由此能求出矩形的面积．

解答：解：过B作BM⊥AO，交FC于点N，交AO于点M，
∵在半径为

6

cm，圆心角为60°的扇形OAB中，点C为弧AB的中点，
∴∠DOC=∠BOC=30°，
∵CD⊥AO，
∴DC=

1

2

OC=

6

2

，
∵FC∥OA，
∴∠FCO=∠AOC=30°，
∴∠FOC=∠FCO=30°，
∴FC=OF．
在△BMO中，
∵∠BOM=60°，∠BMO=90°，OB=

6

，
∴∠OBM=30°，

∴OM=

6

2

，
∴BM=

6- 6 4

=

3 2

2

．
∴BN=

3 2 - 6

2

．
设FN=x，则BF=2x，
∴4x2-x2=(

3 2 - 6

2

)2，
解得x=

2- 3

=

6 - 2

2

，
∴BF=2x=

6

-

2

，
∴FC=OF=

6

-(

6

-

2

)=

2

，
∴矩形的面积S=

2

×

6

2

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查三角函数模型的应用问题，是中档题．解题时要认真审题，注意垂径定理、勾股定理、有一个角是30°角的直角三角形的性质的灵活运用，合理地进行等价转化．