Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的偶函数，且当x∈[1，2]时，该函数的值域为[-2，1]．求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由f（x）为偶函数可知f（x）=f（-x），故ax³+cx=0恒成立，所以f（x）=bx²+d，由此能够求出函数f（x）的解析式．

解答：解：∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），即-ax³+bx²-cx+d=ax³+bx²+cx+d
∴ax³+cx=0恒成立，
故f（x）=bx²+d．（4分）
当b=0时，由函数f（x）的值域不是常数知不合题意；（5分）
当b＞0，x∈[1，2]时f（x）单调递增，又f（x）值域为[-2，1]，
所以

f(1)=-2 f(2)=1

⇒

b+d=-2 4b+d=1

⇒

b=1 d=-3

．（9分）
当b＜0，同理可得

f(1)=1 f(2)=-2

⇒

b+d=1 4b+d=-2

⇒

b=-1 d=2

，（12分）
所以f（x）=x²-3或f（x）=-x²+2．（13分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．