题目内容

设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足f（0）=1，且对任意实数a、b都有f（a）-f（a-b）=b（2a-b+1），则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）=x2+x+1
B．f（x）=x2+2x+1
C．f（x）=x2-x+1
D．f（x）=x2-2x+1
【答案】分析：根据当m＜0或m＞4时，f（x）-m=0只有一个实根；当0＜m＜4时，f（x）-m=0有三个相异实根，得到0为函数的极小值，4为函数的极大值，根据题意可画出函数的大致图象，由图象可判断命题的真假．
解答：（文）A【解析】：令a=b=x，得f（x）-f（0）=x（2x-x+1）=x2+x．又f（0）=1，
∴f（x）=x2+x+1．
点评：此题考查学生掌握利用导数研究函数极值的方法，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题．
练习册系列答案
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设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k-1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．
（1）求f（x）在Ik上的解析表达式；
（2）对自然数k，求集合Mk={a|使方程f（x）=ax在Ik上有两个不等的实根}
设f（x）是定义在区间[a，b]上的函数，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上（　　）
已知函数f(x)=log
1
2
x与函数g（x）的图象关于y=x对称，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，则
4
a
+
1
b
的最大值为
-9
-9

（2）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=g（x）-1，若关于x的方程f（x）-lo
g
(x+2)
a
=0（a＞1）在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是
(
34
，2)
(
34
，2)
．
设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+2），且当x∈[-1，0]时f（x）=（
12
）x-1，则关于x的方程f（x）-log3（x+2）=0在[-1，3]内实根的个数为
2
2
．
（A类）已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log
3
（x+a）的图象上．
（1）求实数a的值；                （2）解不等式f（x）＜log
3
a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
（B类）设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）的值；     （2）求证：f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

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