Question

已知f（x）=1-

1

x

，g（x）=

1

1-x

，若实数a满足对任意的x≠0，1，恒有|f（x）-g（x）|≥a，则a的最大值为

1

．

Answer 1

分析：令h（x）=f（x）-g（x），求出h（x）的取值范围，将恒有|f（x）-g（x）|≥a，转化为|f（x）-g（x）|_min≥a，从而求得a的取值范围，即可求得a的最大值．

解答：解：∵f（x）=1-

1

x

，g（x）=

1

1-x

，
∴令h（x）=f（x）-g（x）=1-

1

x

-

1

1-x

=

-x2+x-1

-x2+x

=1+

1

x2-x

=1+

1

(x- 1 2 )2- 1 4

，
∵(x-

1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

，
∴

1

(x- 1 2 )2- 1 4

≤-4，或

1

(x- 1 2 )2- 1 4

＞0，
∴1+

1

(x- 1 2 )2- 1 4

≤-3，或1+

1

(x- 1 2 )2- 1 4

＞1，
∴h（x）≤-3，或h（x）＞1，即f（x）-g（x）∈（-∞，-3]∪（1，+∞），
∴|f（x）-g（x）|∈（1，+∞），
∵对任意的x≠0，1，恒有|f（x）-g（x）|≥a，
∴|f（x）-g（x）|＞1≥a，
∴a的最大值为1．
故答案为：1．

点评：本题考查了二次函数的性质，以及函数的恒成立问题，函数恒成立问题一般会转化为求函数的最值问题．对于有些无法取到最值的恒成立问题，则转化成求函数的值域，进而可以求得参数的范围，此类问题要特别注意等号是否能够取到．属于中档题．