Question

在△ABC中，A，B，C成等差数列．
（1）求sinA+sinC的取值范围；
（2）若sinA-sinC+

2

2

cos（A-C）=

2

2

，求A，B，C．

Answer 1

分析：（1）先通过A、B、C成等差数列求出B=60°，由B的度数，把所求的式子利用三角形的内角和定理化为关于A的式子，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，最后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象可知正弦函数值的范围，进而得到所求式子的范围．
（2）利用B=

π

3

，结合条件化简可得sin(A-

π

3

)=0或sin(A-

π

3

)=

2

2

，从而可解．

解答：解：（1）∵A，B，C依次成等差数列，∴2B=A+C=π-B，B=

π

3

．
∴sinA+sinC=

3

sin(A+

π

6

)，
∵A∈(0，

2π

3

)，∴sinA+sinC∈(

3

2

，

3

]
（2）∵sinA-sinC+

2

2

cos（A-C）=

2

2

，
∴sin(A-

π

3

)=0或sin(A-

π

3

)=

2

2

，
∵A∈(0，

2π

3

)，∴A=

π

3

或

7π

12

，
∴A=B=C=

π

3

或A=

7π

12

，B=

π

3

，C=

π

12

，

点评：本题主要考查两角和公式的化简求值．考查了学生分析问题的能力和基本运算的能力．学生做题时注意角度的范围，熟练掌握三角函数公式，牢记特殊角的三角函数值，掌握正弦函数的值域．