Question

已知函数y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=

ax

ax+2

．
（1）求a的值；
（2）求f（x）+f（1-x）的值；
（3）求f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)的值．

Answer 1

分析：（1）由y=a^x单调得a+a²=20，由此可求a；
（2）写出f（x），代入运算可得；
（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；

解答：解：（1）∵函数y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=a^x单调，
∴a+a²=20，得a=4，或a=-5（舍去）；
（2）由（1）知f(x)=

4x

4x+2

，
∴f(x)+f(1-x)=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4 4x

4 4x +2

=

4x

4x+2

+

4

2×4x+4

=

4x

4x+2

+

2

4x+2

=1；
（3）由（2）知f（x）+f（1-x）=1，得
n为奇数时，f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)=

n-1

2

×1=

n-1

2

；
n为偶数时，f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)=

n-2

2

×1+f（

1

2

）=

n-2

2

+

1

2

=

n-1

2

；
综上，f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)=

n-1

2

．

点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．