Question

设数列{a_n}是等比数列，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是(x+

1

4x2

)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（2）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer 1

（1）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹∴

2m+3≥3m m-2≥1

∴m=3，…（2分）
由(x+

1

4x2

)4的展开式中的同项公式知T2=

C

14

x4-1(

1

4x2

)=x，

∴a_n=x^n-1
∴由等比数列的求和公式得：Sn=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

…（4分）
（2）当x=1时，S_n=n，
所以：A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，
∴上两式相加得：2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
当x≠1时，Sn=

1-xn

1-x

，
所以有：

An= 1-x 1-x C n1 + 1-x2 1-x C n2 +…+ 1-xn 1-x C nn

= 1 1-x [( C 1n + C 2n +…+ C nn )-(x C 1n +x2 C 2n +…+xn C nn )]

= 1 1-x [2n-(1+x)n]，

∴An=

n•2n-1，x=1 2n-(1+x)n 1-x ，x≠1

…（10分）