题目内容

已知函数f（x）=sin²ωx+ $数学公式$ cosωx cos（ $数学公式$ -ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距为 $数学公式$ ．
（1）求f（ $数学公式$ ）的值．
（2）若函数 f（kx+ $数学公式$ ）（k＞0）在区间[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]上单调递增，求k的取值范围．

解：f（x）=sin²ωx+ $\text{[math]}$ cosωx×cos（ $\text{[math]}$ -ωx）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cosωx×sinωx
= $\text{[math]}$ sin2ωx- $\text{[math]}$ cos2ωx+ $\text{[math]}$
=sin（2ωx- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
因为函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距为 $\text{[math]}$ ，
即是两个最值点距离，即是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以T=π= $\text{[math]}$ ，故ω=1
所以f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
（1）f（ $\text{[math]}$ ）=sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）因为f（kx+ $\text{[math]}$ ）=sin2kx，要在区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递增，
则必须 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，T= $\text{[math]}$ ，所以，可求得k≤ $\text{[math]}$ ，又已知k＞0，则解得0＜k≤ $\text{[math]}$
分析：（1）先根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式进行化简，再由相邻两条对称轴之间的距为 $\text{[math]}$ 求出最小正周期，进而可确定ω的值，从而可确定函数f（x）的解析式，最后将x= $\text{[math]}$ 即可求出答案．
（2）先将x=kx+ $\text{[math]}$ 代入到函数f（x）中，然后为使得在区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递增必须要 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，进而可确定k的范围．
点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的性质--单调性、最值．考查考生对基础知识的简单综合和灵活运用．

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