Question

如图，△PAC与△ABC是均以AC为斜边的等腰直角三角形，AC=4，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，G为OC的中点，且PO⊥平面ABC．
（1）证明：FE∥平面BOG；
（2）求二面角EO-B-FG的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面BOE的法向量=0即可证明；
（2）利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．
解答：（1）证明：以O点为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系数，
则O（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，-2，0），P（0，0，2），G（0，1，0），E（0，-1，1），F（1，0，1）．
∴，，．
设平面OBE的法向量为，
则，令y=1，解得，
∴，∴，
∵G∉平面BOE，∴FG∥平面BOE；
（2）由 （1）的证法二可知．平面OBE的法向量为．
设平面BGF的法向量为，又，
则，令c=1，则，
设二面角EO-B-FG的平面角为θ，则==
由由图易知二面角EO-B-FG的平面角为锐角，
∴二面角EO-B-FG的余弦值为．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用平面BOE的法向量=0、两个平面的法向量的夹角公式求二面角的平面角等是解题的关键．