Question

3．设log_ac，log_bc是方程x²-3x+1=0的两根，求log${\;}_{\frac{b}{a}}$c的值．

Answer 1

分析 由韦达定理和换底公式，得$\frac{lgc}{lga}+\frac{lgc}{lgb}$=3，$\frac{l{g}^{2}c}{lgalgb}$=1，从而推导出（lga-lgb）²=5lg²c，由此能求出log${\;}_{\frac{b}{a}}$c的值．

解答 解：∵log_ac，log_bc是方程x²-3x+1=0的两根，
∴log_ac+log_bc=3，log_ac•log_bc=1，
∴由换底公式，得$\frac{lgc}{lga}+\frac{lgc}{lgb}$=3，$\frac{l{g}^{2}c}{lgalgb}$=1，
∴lg²c=lgalgb，$\frac{lgc（lga+lgb）}{lgalgb}$=3，
∴$\frac{lgc（lga+lgb）}{lg{\;}^{2}c}$=3，lga+lgb=3lgc
∴lg²a+2lgalgb+lg²b=9lg²c
两边同时减4lgalgb=4lg²c，得：lg²a-2lgalgb+lg²b=5lg²c
∴（lga-lgb）²=5lg²c，即lga-lgb=±$\sqrt{5}$lgc，∴lg（$\frac{a}{b}$）=±$\sqrt{5}$lgc
∴log${\;}_{\frac{b}{a}}$c=$\frac{lgc}{lg（\frac{b}{a}）}$=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查对数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、换底公式、平方和（差）公式和对数性质及运算法则的合理运用．