Question

已知正方体ABCD-A'B'C'D'，则该正方体的体积、四棱锥C'-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为

 

．

Answer 1

分析：设出正方体的棱长，利用正方体的体积是四棱锥C'-ABCD的体积的三倍，及正方体的对角线是外接球的直径，求出外接球半径，结合体积公式即可得到结论．

解答：解：正方体的对角线是外接球的直径，设正方体棱长是a．
则

3

a=2r_外接球，r_外接球=

3 a

2

，
∴正方体的外接球的体积为：

4

3

π×(

3 a

2

)  3=

3

2

π a2
又正方体的体积是四棱锥C'-ABCD的体积的三倍，
则该正方体的体积、四棱锥C'-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比为：
a³：

1

3

a³：

3

2

πa2=6：2：3

3

π
故答案为：6：2：3

3

π．

点评：本题是基础题，本题的关键是正方体的对角线就是外接球的直径，球的体积和表面积公式等，考查计算能力．