Question

（本小题满分12分）如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）直线与以为直径的圆相切。

【解析】

试题分析：（1）将整理得，解方程组得直线所经过的定点为。

由离心率，得。椭圆的标准方程为

（2）设，则。，

，

点在以为圆心，2为半径的圆上，即点在以为直径的圆上。

又直线l的方程为。令，得。

又，的中点，

，直线与以为直径的圆相切。

考点：椭圆的简单性质；直线系方程；

点评：直线系过定点的求法要当心，一般转化为这种形式，联立求解即为定点。