Question

已知：x∈N^*，y∈N^*，且 （n∈N^*）．
（Ⅰ）当n=3时，求x+y的最小值及此时的x、y的值；
（Ⅱ）若n∈N^*，当x+y取最小值时，记a_n=x，b_n=y，求a_n，b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，试求的值．
注：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当n=3时，则有则可求最小值及此时的x，y的值，
（Ⅱ）由可得，当时取等号的条件可得a_n，b_n
（Ⅲ）利用等差数列的求和公式可得S_n=a₁+a₂+…+a_n，利用分组组求和及等差、等比数列的求和公式可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，代入可求极限
解答：解：（Ⅰ）当n=3时，则有
∴，
当且仅当，即时，取等号．所以，当时，x+y的最小值为16．
（Ⅱ）∵，，∴，
当且仅当，即时，取等号．所以，a_n=n+1，b_n=n（n+1）．
（Ⅲ）因为S_n=a₁+a₂+…+a_n=，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+1²）+（2+2²）+（3+3²）+…+（n+n²）=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+…+n²）==
所以．
点评：本题是一道综合性比较好的试题，题目中考查了基本不等式在求解最值及取得最值的条件中的应用，还考查了等差数列、等比数列的求和公式及分组求和的方法的应用．