Question

【题目】已知函数，其中．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，若曲线，有公共点，且在点处的切线相同，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；

（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），由题意得，得到（a＞0）．设，利用导数求其最大值得答案．

（Ⅰ）的定义域为．

．

令，得．

当时，；当时，．

所以的单调递增区间为，单调递减区间为；

（Ⅱ）设点的横坐标为，则，．

因为，，所以，．

由题意得

由得或（舍）．

所以 ．

设，则

．

令，得．

当时，，单调递增；

当 时，，单调递减．

所以在的最大值为，

即的最大值为．