Question

给出a，b的下列关系：
①0＜a＜b＜1；    ②0＜b＜a＜1；    ③a＞b＞1；
④b＞a＞1；   ⑤0＜a＜1＜b；    ⑥0＜b＜1＜a．
则其中可以使log_a2＜log_b2成立的有

②③⑤

．

Answer 1

分析：根据对数函数的单调性和特殊点，不等式的基本性质，经检验只有②③⑤满足条件，排除①④⑥，从而得到答案．

解答：解：当①0＜a＜b＜1时，有lga＜lgb＜0，故 0＞

1

lga

＞

1

lgb

，

lg2

lga

＞

lg2

lgb

，
即log_a2＞log_b2成立，故排除①．
当②0＜b＜a＜1时，有lgb＜lga＜0，故

1

lga

＜

1

lgb

＜0，

lg2

lga

＜

lg2

lgb

，
即log_a2＜log_b2成立，故②满足条件．
当③a＞b＞1时，lga＞lgb＞0，故0＜

1

lga

＜

1

lgb

，

lg2

lga

＜

lg2

lgb

，
即log_a2＜log_b2成立，故③满足条件．
当④b＞a＞1时，0＜lga＜lgb，

1

lga

＞

1

lgb

，

lg2

lga

＞

lg2

lgb

，
即log_a2＞log_b2成立，故排除④．
当⑤0＜a＜1＜b时，lga＜0＜lgb，

1

lga

＜

1

lgb

，

lg2

lga

＜

lg2

lgb

，
即log_a2＜log_b2成立，故⑤满足条件．
当⑥0＜b＜1＜a时，

1

lga

＞0＞

1

lgb

，

1

lga

＞

1

lgb

，

lg2

lga

＞

lg2

lgb

，
即log_a2＞log_b2成立，故排除⑥．
故答案为 ②③⑤．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，不等式的基本性质，属于中档题．