Question

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=

1

f′(x)

+af′(x)（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=

2

3

x+

7

6

与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．

Answer 1

分析：（1）对x的取值分类讨论，化简绝对值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0导函数相等，代入到g（x）中得到即可；
（2）根据基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a；
（3）根据（2）知g

x

=x+

1

x

，(x＞0)，先联立直线与函数解析式求出交点，利用定积分求直线和函数图象围成面积的方法求出即可．

解答：解：（1）∵f

x

=ln|x|，
∴当x＞0时，f

x

=lnx，当x＜0时，f

x

=ln

-x

…（1分）
∴当x＞0时，f′

x

=

1

x

，当x＜0时，f′

x

=

1

-x

•

-1

=

1

x

…（2分）
∴当x≠0时，函数y=g

x

=x+

a

x

…（4分）
（2）∵由（1）知当x＞0时，g

x

=x+

a

x

，
∴当a＞0，x＞0时，g

x

≥2

a

当且仅当x=

a

时取等号 …（6分）
∴函数y=g

x

在

0，+∞

上的最小值是2

a

…（7分）
∴依题意得2

a

=2∴a=1…（8分）
（用导数求最小值参考给分）
（3）根据（2）知a=1，∴g

x

=x+

1

x

，(x＞0)…（9分）
由

y= 2 3 x+ 7 6 y=x+ 1 x

解得

x1= 3 2 y1= 13 6

，

x2=2 y2= 5 2

…（10分）
∴直线y=

2

3

x+

7

6

与函数y=g

x

的图象所围成图形的面积S=

∫

2   3 2

[

2 3 x+ 7 6

-

x+ 1 x

]dx=

∫

2 3 2

(-

x

3

+

7

6

-

1

x

)dx…（11分）

=[- x2 6 + 7x 6 -lnx] . 2 3 2

= 7 24 -ln2+ln 3 2 = 7 24 +ln3-2ln2

．…（14分）．

点评：考查学生导数运算的能力，理解函数最值及几何意义的能力，利用定积分求平面图形面积的能力．