Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量

m

=(a，btanA)，

n

=(b，atanB)．
（1）若

m

∥

n

，试判断△ABC的形状；
（2）若

m

⊥

n

，且a=2

3

，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由两向量平行时坐标满足的关系列出等式，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，再利用正弦定理变形，然后利用二倍角的正弦函数公式得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，得到A+B的范围，进而得到2A=2B或2A与2B互补，得到两角相等或两角互余，可得三角形为等腰三角形或直角三角形；
（2）由两向量垂直时两向量的数量积为0，根据两向量的坐标列出等式，两边同时除以ab后得到tanAtanB=-1，再利用同角三角函数间的基本关系切化弦，并利用两角和与差的余弦函数公式变形得到cos（A-B）=0，由a大于b，根据大边对大角得到A大于B，进而得到A-B=

π

2

，用B表示出A，由a，b，sinA及sinB，利用正弦定理列出关系式，将表示出的A代入，利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到tanB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由A与B的关系式求出A的度数，再利用三角形的内角和定理求出C的度数，求出sinC的值，再由a与b的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）由

m

∥

n

，知a²tanB=b²tanA，即a²sinBcosA=b²sinAcosB，
利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
又A，B∈（0，π），0＜A+B＜π，
∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形；
（2）由

m

⊥

n

，知ab+abtanAtanB=0，即tanAtanB=-1，
∴cosAcosB+sinAsinB=0，即cos（A-B）=0，
又A，B∈（0，π），a=2

3

，b=2，
∴A＞B，
∴A-B=

π

2

，
在△ABC中，由正弦定理得：

2

sinB

=

2 3

sinA

=

2 3

sin(B+ π 2 )

=

2 3

cosB

，
∴tanB=

3

3

，又B∈（0，π），
∴B=

π

6

，
∴A=B+

π

2

=

2π

3

，C=

π

6

，
则S=

1

2

absinC=

1

2

×2

3

×2×

1

2

=

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及正弦、余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．