Question

一个袋子中装有m个红球和n个白球(m＞n≥4),它们除颜色不同外,其余都相同,现从中任取两个球.

(1)若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍,求证:m必为奇数;

(2)若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率,求满足m+n≤20的所有数组(m,n).

Answer 1

解:(1)设“取出两个红球”为事件A,“取出一红一白两个球”为事件B,则P(A)=,P(B)= .

由题意得P(A)=kP(B)(k∈N^*).则有=k,可得m=2kn+1.

∵k,n∈N^*,∴m为奇数.

(2)设“取出两个白球”为事件C,则P(C)=.

由题意知P(A)+P(C)=P(B),即有+=.

可得到m+n=(m-n)²,从而m+n为完全平方数.

又m＞n≥4及m+n≤20,得9≤m+n≤20.

得到方程组解得(不合题意舍去),

故满足条件的数组(m,n)只有一组(10,6).