Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
（Ⅰ）试判断F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当0＜a＜b时，求证：f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

Answer 1

分析：（I）根据已知求出F（x）的解析式及其导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可判断出函数的单调性；
（II）结合（I）中函数的单调性，可得，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，即lnx＞

2x-2

x2+1

，当0＜a＜b时，令x=

b

a

，代入可得结论．

解答：解：（I）∵函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）的定义域为[1，+∞）
∴F′（x）=2xlnx+

x2+1

x

-2=2xlnx+

(x-1)2

x

当x≥1时，F′（x）≥0恒成立
故函数F（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）在定义域[1，+∞）上为增函数
（II）由（1）知，当x＞1时，F（x）＞F（1）=0
即当x＞1时，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0

∴

lnx＞

2x-2

x2+1

…①
令x=

b

a

，当0＜a＜b时，

b

a

＞1
由①可得ln

b

a

=lnb-lna＞

2× b a -2

( b a )2+1

=

2a(b-a)

a2+b2

∴当0＜a＜b时，f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用，其中（I）的关键是熟练掌握导数法求函数单调性的步骤，（II）的关键是得到lnx＞

2x-2

x2+1

．