Question

三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，
（1）求证：面PBC⊥面ABC
（2）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意由于三棱锥P-ABC中，∠BCA=90°，且PA=PB=PC=BC=2AB=2，所以可以取BC中点O，连接AO，PO，由已知△BAC为直角三角形，所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，则△POA≌△POB≌△POC，利用该三角形的全等得到对应角相等，进而得到线面垂直及面面垂直即可；
（2）由题意可以建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，利用求空间点的坐标的方法可以求出点A，B，C，P的坐标，再由向量的坐标公式求出向量

BA

与

BP

的坐标，由平面的法向量的定义及求解平面法向量的方法求出平面PAC的法向量，利用平面法向量的夹角公式与平面二面角之间的关系即可求解．

解答：（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，由已知△BAC为直角三角形，
所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，
则△POA≌△POB≌△POC
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥OB，PO⊥OA，OB∩OA=O
所以PO⊥面BCA，PO?面ABC，∴面PBC⊥面ABC
（2）解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点，
如图建立坐标系O-xyz
则A(

3

2

，-

1

2

，0)，B（0，-1，0），C（0，1，0），P(0，0，

3

)，

BA

=(

3

2

，

1

2

，0)，

BP

=(0，1，

3

)
设面PAB的法向量为n₁=（x，y，z），由n₁•

BA

=0，n₁•

BP

=0，可知n₁=（1，-

3

，1）
求得面PAC的法向量为n₁=（3，

3

，1），cos（n₁，n₂）=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

65

65

，
所以二面角B-AP-C的余弦值为

65

65

．

点评：此题重点考查了线面垂直与面面垂直的判定定理，还考查了利用空间向量的方法求解二面角的大小，还考查了学生的计算能力与空间想象的能力．