题目内容
设f（x）是定义在R上的奇函数，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，当x＞2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）3（a为常数）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）对区间[1，+∞）上的每个x值，恒有f（x）≥-2a成立，求a的取值范围．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）对区间[1，+∞）上的每个x值，恒有f（x）≥-2a成立，求a的取值范围．
分析：（1）根据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），从而可求出函数f（x）的解析式，最后根据奇偶性求出函数在R上的解析式；
（2）由题意x∈[1，+∞）时，[f（x）]min≥-2af'（x）=-a+3x2，下面对a进行分类讨论：①当a≤0时，②当a＞0时，再分：
＜1，和
≥1两种情况分别求出a的范围，最后综合即可得出a的取值范围．
（2）由题意x∈[1，+∞）时，[f（x）]min≥-2af'（x）=-a+3x2，下面对a进行分类讨论：①当a≤0时，②当a＞0时，再分：
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解答：解：（1）1°当x＜0时，2-x＞2，
设P（x，y）（x＜0）为y=f（x）上的任一点，
则它关于直线x=1的对称点为P1（x1，y1），
满足
，
且P1（x1，y1）适合y=g（x）的表达式
∴y1=a（x1-2）-（x1-2）3即y=-ax+x3…（4分）
2°当x＞0时，-x＜0，∵f（x）为奇函数∴f（x）=-f（-x）=-[-a（-x）+（-x）3]=-ax+x3…（5分）
3°当x=0时，f（x）=0=-a×0+03
综上 f（x）=-ax+x3，x∈R…（6分）
（2）由题意x∈[1，+∞）时，[f（x）]min≥-2af'（x）=-a+3x2，
当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，+∞）是增函数∴f（1）=-a+1≥-2a得a≥-1，即-1≤a≤0…（8分）
当a＞0时，令f'（x）=0得x1=-
，x2=
若
＜1，即0＜a＜3时，则f'（x）在[1，+∞）大于零，f（x）在[1，+∞）是增函数，∴f（1）=-a+1≥-2a得0＜a＜3…（10分）
若
≥1，即a≥3时，则f（x）在[1，+∞）的最小值是f(
)=-a
+(
)3=-
令f(
)≥-2a得3≤a≤27…（11分）
综上-1≤a≤27…（12分）
设P（x，y）（x＜0）为y=f（x）上的任一点，
则它关于直线x=1的对称点为P1（x1，y1），
满足
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且P1（x1，y1）适合y=g（x）的表达式
∴y1=a（x1-2）-（x1-2）3即y=-ax+x3…（4分）
2°当x＞0时，-x＜0，∵f（x）为奇函数∴f（x）=-f（-x）=-[-a（-x）+（-x）3]=-ax+x3…（5分）
3°当x=0时，f（x）=0=-a×0+03
综上 f（x）=-ax+x3，x∈R…（6分）
（2）由题意x∈[1，+∞）时，[f（x）]min≥-2af'（x）=-a+3x2，
当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，+∞）是增函数∴f（1）=-a+1≥-2a得a≥-1，即-1≤a≤0…（8分）
当a＞0时，令f'（x）=0得x1=-
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|
若
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若
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|
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| 2a |
| 3 |
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令f(
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综上-1≤a≤27…（12分）
点评：本题主要考查了函数的奇偶性、对称性，利用导数研究函数的单调性，以及函数的解析式的求解和恒成立的证明，同时考查了分类讨论思想，属于中档题．
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设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2+a（a是常数）．则x∈[2，4]时的解析式为（ ）
| A、f（x）=-x2+6x-8 | B、f（x）=x2-10x+24 | C、f（x）=x2-6x+8 | D、f（x）=x2-6x+8+a |