题目内容

设f（x）=ax³+bx²+cx（a＞b＞c），已知函数f（x）在x=1处取得极值，且曲线f（x）在x=t处的切线斜率为-2a．
（1）求 $数学公式$ 的取值范围；
（2）若函数f（x）的单调递减区间为[m，n]，求|m-n|的最小值；
（3）判断曲线f（x）在 $数学公式$ 处的切线斜率的正负，并说明理由．

解：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f（x）在x=1处取得极值，得f'（1）=0，即3a+2b+c=0，
由a＞b＞c知：a＞0，c＜0．
由2a＞2b=-3a-c＞2c，得 $\text{[math]}$ ①．
曲线f（x）在x=t处的切线斜率为-2a，得f'（t）=-2a，即3at²+2bt+c+2a=0．
由△=4b²-12a（c+2a）≥0，将2b=-3a-c代入，得c²-6ac-15a²≥0，
即 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ②．
由①②联立得 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ；
（2）由f'（1）=0知：方程f'（x）=0即3ax²+2bx+c=0的一根为1，设另一根为x₀，则
由韦达定理，得 $\text{[math]}$ ．
由a＞0，令f'（x）=3ax²+2bx+c＜0，得x₀＜x＜1，则[m，n]=[x₀，1]，从而 $\text{[math]}$ ，
故|m-n|的最小值为 $\text{[math]}$ ；
（3）由a＞0知，当x₀＜x＜1时f'（x）＜0；当x＜x₀或x＞1时f'（x）＞0．
而f'（t）=-2a＜0，则x₀＜t＜1，于是 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，即
曲线f（x）在 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为正．
分析：（1）求出f（x）的导函数f′（x），因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0得到a与b的关系式，由a＞b＞c变形可得 $\text{[math]}$ 的范围记作①，又根据曲线在x=t的斜率为-2a，可得f′（t）=-2a，得到关于t的一元二次方程，根据△大于等于0列出a与c的不等式，变形可得 $\text{[math]}$ 的范围记作②，求出①②的交集即可得到 $\text{[math]}$ 的范围；
（2）由f′（1）=0得到f′（x）=0有一根为1，设出另一根，根据韦达定理可表示出另一根，根据（1）求出的范围求出另一根的范围，由二次函数的性质可知a大于0，令导函数小于0的不等式的解集应该为x大于另一根小于1，所以|m-n|就等于1减另一根，求出1-另一根的范围，由范围即可得到|m-n|的最小值；
（3）根据x的范围讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，然后判断t- $\text{[math]}$ 的范围，即可得到其对应的导函数大于0，即切线的斜率f′（t- $\text{[math]}$ ）大于0，所以曲线f（x）在 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为正．
点评：本题是一道从三个“二次”即二次函数、二次方程和二次不等式的相互关系演变而来的代数推理题．三次函数与二次函数联系紧密，因为将三次函数求导就转化为二次函数．此题以导数的几何意义为载体，巧妙地将导数与函数、方程与不等式等知识综合交汇在一起，对逻辑推理能力的考查达到极致，确实是一道好题．