Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：C₁A⊥B₁C．
（Ⅲ）若AC=2，求点C到平面C₁AD的距离．

Answer 1

分析：（I）欲证A₁B∥平面ADC₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁B与平面ADC₁内一直线平行，连接A₁C交C₁A与点O，连接DO，根据中位线定理可知DO∥A₁B，而A₁B?平面ADC₁，BO?平面ADC₁，满足定理所需条件；
（II）由（I）可知C₁A⊥A₁C，A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，根据线面垂直的判定定理可知C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C，根据线面垂直的性质可知C₁A⊥B₁C；
（III）根据题意可知CC₁⊥面ABC，求出S_△ACD与S_△AC1D，设点C到平面C₁AD的距离为d，最后根据等体积法V_C-C1AD=V_C1-CAD建立等式关系，求出d即可求出所求．

解答：证明：（I）连接A₁C交C₁A与点O，连接DO
∵ACC₁A₁均为正方形∴点O为A₁C的中点
而D为BC中点∴DO∥A₁B
而A₁B?平面ADC₁，DO?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（II）由（I）可知C₁A⊥A₁C，而AB⊥平面ACC₁A₁，
而C₁A?平面ACC₁A₁，则AB⊥C₁A，而A₁B₁∥AB
∴A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，
∴C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C
∴C₁A⊥B₁C．
（III）根据题意可知CC₁⊥面ABC，
S_△ACD=1，AC₁=2

2

，AD=

2

，C₁D=

6

∴S_△AC1D=

1

2

×

2

×

6

=

3

设点C到平面C₁AD的距离为d
V_C-C1AD=V_C1-CAD=

1

3

×1×2=

1

3

×

3

×d
解得：d=

2 3

3

∴点C到平面C₁AD的距离为

2 3

3

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和点到平面的距离，同时考查了空间想象能力、运算求解的能力、以及转化与划归的思想，属于中档题．