Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′(x)＞

1

3

，则f(x)-

x

3

-

2

3

＞0的解集为

 

．

Answer 1

分析：由于函数f′(x)＞

1

3

，令g（x）=f（x）-

x

3

-

2

3

，则f′(x)=f′(x)-

1

3

＞0．可得其单调性，又g（1）=f（1）-

1

3

-

2

3

=1-1=0，即可得出不等式的解集．

解答：解：∵函数f′(x)＞

1

3

，
令g（x）=f（x）-

x

3

-

2

3

，
则f′(x)=f′(x)-

1

3

＞0．
∴函数g（x）在R上单调递增，
又g（1）=f（1）-

1

3

-

2

3

=1-1=0，
∴当x＞1时，g（x）＞g（1）=0．
∴f(x)-

x

3

-

2

3

＞0的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、构造函数法、利用单调性解不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．