Question

（2010•广州模拟）一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（　　）

• A．

  3 7

  8

• B．

  3

  4

• C．

  7

  4

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n-1）n•cosα，将表示出的cosα代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，将n的值代入表示出的cosα中，即可求出这个三角形最小角的余弦值．

解答：解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：

n-1

sinα

= 

n+1

sin2α

=

n+1

2sinαcosα

，
∴cosα=

n+1

2(n-1)

，
再由余弦定理可得：（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα=（n+1）²+n²-2（n+1）n•

n+1

2(n-1)

，
化简可得：n²-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，
则cosα=

n+1

2(n-1)

=

6

8

=

3

4

．
故选B

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．