题目内容

设函数 $数学公式$ ，且以 $数学公式$ 为最小正周期．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求能使f（x）取得最大值时的x的集合．
（Ⅱ）已知 $数学公式$ ，求sinα的值．

解：（Ⅰ）整理得： $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵f（x）的周期为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ?ω=4．
故f（x）=3sin（4x+ $\text{[math]}$ ）．…（4分）
当4x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ ，（k∈Z）时，y_max=3．
此时x的集合为 $\text{[math]}$ ．…（8分）
（Ⅱ）∵f（ $\text{[math]}$ ）=3sin（ $\text{[math]}$ ）=3cosα，
∴3cosα= $\text{[math]}$ ，即cosα= $\text{[math]}$ ．…（10分）
∴sinα=± $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（I）首先用辅助角公式将f（x）整理为： $\text{[math]}$ ，利用正弦函数关于周期的公式可以算出ω=4．再用正弦函数的最值及相应最值点x取值的结论得：当4x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ 时，函数取到最大值3，并由此可得取最大值时x的集合．
（II）根据（I）的表达式，将x= $\text{[math]}$ 代入，结合正余弦的诱导公式得cosα= $\text{[math]}$ ，最后根据同角三角函数的平方关系得到sina的值．
点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，着重考查了辅助角公式，三角函数的图象与性质和同角三角函数的关系等等，属于中档题．