Question

(本小题满分12分)已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.

（Ⅰ）若，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）中利用已知的椭圆的性质得到a,b，c的关系式，解得椭圆方程。

（2）中联立直线与椭圆的方程组，借助于韦达定理，和OM垂直于ON，得到关系式，从而得到结论。

解：（Ⅰ）由题意得，得.          ………………2分

结合，，.                    ………………3分

所以，椭圆的方程为.                           ………………4分

（Ⅱ）由 得.

设.

所以，                          ………………6分

依题意，，

易知，四边形为平行四边形，

所以，                                         ………………7分

因为，，

所以.   ………………8分

即 ，                            ……………9分

将其整理为 .          ………………10分

因为，所以，.     ………………11分

所以，即.