Question

椭圆C的两焦点坐标是F（±

3

，0），且经过点（

3

，

1

2

）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点N的坐标为N（1，1），若M是直线x+4y=0上一动点，且与原点O不重合，过M作直线，交椭圆C于P、Q两点，且M平分线段PQ，求△NPQ的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，利用椭圆C的两焦点坐标是F（±

3

，0），且经过点（

3

，

1

2

），建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）利用点差法确定PQ的斜率，可得方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求出|PQ|，求出点N（1，1）到直线PQ的距离，表示出△NPQ的面积，利用配方法可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆C的两焦点坐标是F（±

3

，0），且经过点（

3

，

1

2

）
∴

a2-b2=3 3 a2 + 1 4 b2 =1

∴a=2，b=1
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由题意，设M（-4t，t），则

(-4t)2

4

+t2＜1⇒t2∈(0，

1

5

)
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-8t，y₁+y₂=2t．
由题意得：

x 2 1 +4 y 2 1 =4 x 2 2 +4 y 2 2 =4

⇒(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0⇒kPQ=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

-8t

4•2t

=1．
设直线PQ的方程为y-t=x+4t，即y=x+5t，代入方程x²+4y²=4
得：5y²-10ty+25t²-4=0．则y₁+y₂=2t，y1y2=5t2-

4

5

∴|PQ|=

2

|y1-y2|=

2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=4

2

•

1 5 -t2

．
点N（1，1）到直线PQ的距离：d=

|5t|

2

．
∴S△NPQ=

1

2

|PQ|•d=

1

2

•4

2

•

1 5 -t2

•

|5t|

2

=10

-t4+ 1 5 t2

=10

-(t2- 1 10 )2+ 1 100

由t2∈(0，

1

5

)，则0＜S_△NPQ≤1．
即：△NPQ的面积的取值范围是（0，1]

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．