题目内容

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，试求a的取值范围；
（2）若x∈[0，1]时，f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，试求当 $数学公式$ 时，a的取值范围．

解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，1）时，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴ $\text{[math]}$ 恒成立，
∴ $\text{[math]}$ （6分）
（2）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax
∵ $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，当-3x²+2ax≥0时， $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 恒成立，
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）先求导函数f′（x），要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，只需x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，然后转化成 $\text{[math]}$ 恒成立，即可求出a的范围；
（2）根据导数的几何意义可知tanθ=f′（x），然后根据倾斜角为θ的范围求出f′（x）的范围在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．
点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用转化与划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．