Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

证明：（1）如图一，连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK．
在△ABC₁中，D、K为中点，∴DK∥BC₁、（4分）
又DK?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，∴BC₁∥平面DCA₁、（6分）

图一　　　　　　　　　图二　　　　　　　　图三
（2）证明：（方法一）如图二，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、
又CD⊥DA₁，AB∩DA₁=D，∴CD⊥平面ABB₁A₁、（8分）
取A₁B₁的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB₁、CC₁平行且相等，
∴DCC₁E是平行四边形，∴C₁E、CD平行且相等．
又CD⊥平面ABB₁A₁，∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，∴∠EBC₁即所求角、（10分）
由前面证明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．
设AC=BC=BB₁=2，∴，，∠EBC₁=30°、（12分）
（方法二）如图三，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、
又CD⊥DA₁，AB∩DA₁=D，∴CD⊥平面ABB₁A₁、（8分）
取DA₁的中点F，则KF∥CD，∴KF⊥平面ABB₁A₁．
∴∠KDF即BC₁与平面ABB₁A₁所成的角．（10分）
由前面证明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．
设AC=BC=BB₁=2，∴，，∴∠KDF=30°、（12分）
分析：（1）连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK．根据三角形中位线定理，易得到DK∥BC₁，再由线面平行的判定定理得到BC₁∥平面DCA₁；
（2）方法一：由AC=BC，D为AB的中点，取A₁B₁的中点E，又D为AB的中点，得到DCC₁E是平行四边形，则∠EBC₁即为BC₁与平面ABB₁A₁所成角的二面角，解三角形即可求出答案．方法二：由AC=BC，D为AB的中点，取DA₁的中点F，则∠KDF即BC₁与平面ABB₁A₁所成的角．解三角形即可求出答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是得到DK∥BC₁，（2）的关键是求出BC₁与平面ABB₁A₁所成角的平面角．本小题在能力方面主要考查立体几何的相关知识及空间想象能力，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法．