Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的长轴为AB，以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面积的最大值．

Answer 1

分析：先设C（acosφ，bsinφ）进而可得四边形ABCD 的面积的表达式整理得4absin

φ

2

cos3

φ

2

，进而根据sin

φ

2

cos³

φ

2

的范围求得答案．

解答：解：设C（acosφ，bsinφ），则四边形ABCD 的面积=absinφ+abcosφsinφ
=absinφ（1+cosφ）=4absin

φ

2

cos3

φ

2

因为sin²

φ

2

×cos⁶

φ

2

=

1

3

×3sin2

φ

2

×cos2

φ

2

×cos²

φ

2

×cos²

φ

2

≤

1

3

×（

3

4

）⁴=

27

256

．
所以sin

φ

2

cos

φ

2

≤

3 3

16

．
所以则四边形ABCD的面积的最大值为：

3 3

4

ab．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．本题利用了椭圆的参数方程通过三角函数的性质来解决问题．