题目内容
关于函数f(x)=2sin(2x-
)(x∈R)，有以下命题
（1）y=f(x-
)为偶函数；
（2）y=f（x）的图象关于直线x=
对称；
（3）函数f（x）在区间[0，
]的值域为[-
，
]；
（4）y=f（x）在[-
，
]的减区间是[-
，-
]和[
，
]．
其中正确命题的序号为
| π |
| 3 |
（1）y=f(x-
| π |
| 12 |
（2）y=f（x）的图象关于直线x=
| 5π |
| 12 |
（3）函数f（x）在区间[0，
| π |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（4）y=f（x）在[-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 2 |
其中正确命题的序号为
（1）（2）（4）
（1）（2）（4）
．分析：把函数f(x)=2sin(2x-
)中的x替换为x-
，化简整理后即可判断函数y=f(x-
)的奇偶性；
把x=
代入函数解析式，根据函数能否取得最值判断y=f（x）的图象是否关于直线x=
对称；
直接由x∈[0，
]，求解函数f(x)=2sin(2x-
)的值域，从而能判断命题（3）的真假；
根据复合函数的单调性，求解函数f(x)=2sin(2x-
)的单调区间，然后根据k的取值，求得函数f（x）在[-
，
]上的减区间．由以上分析即可得到正确答案．
| π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
把x=
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
直接由x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
根据复合函数的单调性，求解函数f(x)=2sin(2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：解：由f(x)=2sin(2x-
)，得：y=f(x-
)=2sin[2(x-
)-
]=2sin(2x-
)=-2cos2x，
函数的定义域为R，且-2cos2（-x）=-2cos2x，∴函数y=f(x-
)为偶函数，∴命题（1）正确；
把x=
代入f(x)=2sin(2x-
)，得：f(
)=2sin(2×
-
)=2sin
=2，
∴y=f（x）的图象关于直线x=
对称，∴命题（2）正确；
由0≤x≤
，得：-
≤2x-
≤
，∴-1≤2sin(2x-
)≤2，
∴函数f（x）在区间[0，
]的值域为[-1，2]，∴命题（3）错误；
由
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ（k∈Z），得：
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z），
取k=-1，得：-
≤x≤-
，取k=0，得：
≤x≤
．
∴y=f（x）在[-
，
]的减区间是[-
，-
]和[
，
]，∴命题（4）正确．
所以，正确的命题为（1）（2）（4）．
故答案为（1）（2）（4）．
| π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
函数的定义域为R，且-2cos2（-x）=-2cos2x，∴函数y=f(x-
| π |
| 12 |
把x=
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴y=f（x）的图象关于直线x=
| 5π |
| 12 |
由0≤x≤
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴函数f（x）在区间[0，
| π |
| 2 |
由
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
取k=-1，得：-
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
∴y=f（x）在[-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 2 |
所以，正确的命题为（1）（2）（4）．
故答案为（1）（2）（4）．
点评：本题考查了判断命题真假，比较综合的考查了三角函数的一些性质，解答此题的关键是对三角函数的性质的理解与掌握，若能借助于单位圆中的三角函数线处理该题，将会使问题简洁化，此题属中档题．
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