Question

若tan（α+β）=2tanα，求证：3sinβ=sin（2α+β）．

Answer 1

分析：通过切化弦，化简已知条件得到sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），利用分析法化简所要证明的恒等式，得到sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）即可．

解答：证明：由tan（α+β）=2tanα，得

sin(α+β)

cos(α+β)

=

2sinα

cosα

，即sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）（*）
另一方面，要证3sinβ=sin（2α+β），即证3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
即证3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
化简，得sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）
∵上式与（*）式相同．所以，命题成立．

点评：本题考查条件恒等式的证明，两角和的正弦函数与同角三角函数的基本关系式的应用，分析法的证明方法的应用．