题目内容

当是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是                      （    ）

    A．    B． 

    C．               D．

 B   提示：当时，，而
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已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x）．对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：
（Ⅰ）当a≤0时，
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)；
（Ⅱ）当a≤4时，|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|．
（类型A）已知函数f（x）=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：
（1）当a≤0时，
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)
（2）当a≤4时，|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|
（类型B）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人．如何组团，可使旅行社的收费最多？

（本小题满分12分）

        已知函数是任意两个不相等的正数。

   （1）函数在的关系；

   （2）当；                   

   （3）令

已知．

（１）求的单调区间；

（２）证明：当时，恒成立；

（３）任取两个不相等的正数，且，若存在使成立，证明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

当k0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+），无减区间；

当k>0时，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）

(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),的变化情况如表

x

1

(1,e)

e

(e,+)

 

－

0

+

h(x)

e－2

↘

0

↗

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

 

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