Question

已知x＞0，y＞0，且x+2y-2xy=0，则x+4y最小值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：把给出的等式进行配方变形，得到（x-1）（2y-1）=1，然后分析得到以x-1＞0，2y-1＞0．最后利用基本不等式求最小值．

解答：解：由x+2y-2xy=0，得2xy-x-2y+1=1．
即（x-1）（2y-1）=1，
如果x-1＜0，2y-1＜0，则-1＜x-1＜0，-1＜2y-1＜0．
则（x-1）（2y-1）＜1，
所以要使 2xy-x-2y+1=1．
则 x-1＞0，2y-1＞0．
所以x+4y=（x-1）+2（2y-1）+3≥2

(x-1)•2(2y-1)

+3=3+2

2

．
当且仅当x-1=4y-2时，即x=1+

2

，y=

1

2

+

2

4

时“=”成立．
所以x+4y的最小值是3+2

2

．
故答案为3+2

2

．

点评：本题考查了基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把给出的等式进行因式分解，是中档题．