Question

已知m，n∈N，且点A（m，1）和点B（2，n）都在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1内部，
（1）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；
（2）记“使得

OA

⊥

BA

成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析：（1）根据A、B两点都在已知的椭圆内，建立关于m、n的不等式，结合m、n都是自然数即可得到m、n的可能取值，从而列出有序数组（m，n）的所有可能结果；
（2）利用向量数量积的数量积的坐运算公式和向量垂直的充要条件，化简得（m-1）²=n，不难得出符合条件的基本事件有3个，由此结合等可能性事件的概率公式，即可算出事件A发生的概率．

解答：解：（1）∵点A（m，1）在椭圆内且m∈N，
∴

m2

16

+

1

9

＜1，可得m∈{0，1，2，3}
又∵点B（2，n）在椭圆内且n∈N，
∴

4

16

+

n2

9

＜1，可得n∈{0，1，2，}
因此，有序数组（m，n）的所有可能结果为：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），
（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）共12个基本事件．
（2）∵

OA

=(m，1)，

BA

=(m-2，1-n)，且

OA

⊥

BA

∴

OA

•

BA

=m²-2m+1-n=0，即（m-1）²=n
因此，事件A包含的基本事件为（0，1）、（1，0）、（2，1）共3个．
∴事件A发生的概率P（A）=

3

12

=

1

4

答：事件A发生的概率为

1

4

点评：本题以点在椭圆内部为例，求满足条件的整数点个数及其有关概率，着重考查了向量垂直的充要条件、等可能性事件的概率等知识，属于基础题．