Question

15．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+6≥0}\\{x-1≤y}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则$\frac{2}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式即可得到结论．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率$-\frac{a}{b}＜0$，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+6=0}\\{x-1=y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（9，8），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，
即9a+8b=8，∴$\frac{9a}{8}$+b=1，
则$\frac{2}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{4}{b}$）（$\frac{9a}{8}$+b）=$\frac{18}{8}$+4+$\frac{2b}{a}$+$\frac{36a}{8b}$≥$\frac{25}{4}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{36a}{8b}}$=$\frac{25}{4}$+2×3=$\frac{25}{4}$+6=$\frac{49}{4}$，
当且仅当$\frac{2b}{a}$=$\frac{36a}{8b}$，即2b=3a时取等号．
即$\frac{2}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{49}{4}$．
故答案为：$\frac{49}{4}$．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．