Question

若 P为椭圆上任意一点，为左、右焦点，

(1)若的中点为M，求证：；

(2)若，求之值；

(3)椭圆上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标，

若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：在△F₁PF₂中，MO为中位线，

∴|MO|＝＝

＝a－＝5－|PF₁|…….3分

(2)解：∵ |PF₁|＋|PF₂|＝10，

∴|PF₁|²＋|PF₂|²＝100－2|PF₁|·|PF₂|，

在△PF₁F₂中，cos 60°＝，

∴|PF₁|·|PF₂|＝100－2|PF₁|·|PF₂|－36，

∴|PF₁|·|PF₂|＝.  ………8分

(3)解：设点P(x₀，y₀)，则 .①

易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故＝(－3－x₀，－y₀)，

＝(3－x₀，－y₀)，

∵ =0，∴x²－9＋y²＝0，②

由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在． ……12分

【解析】略