Question

（2013•临沂三模）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500），单位：元）．
（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据直方图，可得居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），由此可算出样本数据的中位数；
（Ⅲ）由题意知，X～B（3，0.3），求出相应的概率，可得X的分布列和数学期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1-（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x-2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此P(x=0)=

C

0 3

×0.73=0.343，P(x=1)=

C

1 3

×0.72×0.3=0.441，P(x=2)=

C

2 3

×0.7×0.32=0.189，P(x=3)=

C

3 3

×0.33=0.027．
故随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

X的数学期望为3×0.3=0.9．

点评：本题考查频率分布直方图，考查中位数的计算，考查随机变量X的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．