Question

已知函数f（x）=ax³-x²+bx+2（a，b∈R）在区间（-∞，0）及（4，+∞）上都是增函数，在区间（0，4）上是减函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意知函数f（x）=ax³-x²+bx+2（a，b∈R）在区间（-∞，0）及（4，+∞）上都是增函数，在区间（0，4）上是减函数．所以0和4为函数的驻点，即f′（0）=0，f′（4）=0得到a与b；
（Ⅱ）求出f′（x）在x=1时的函数值f′（1）而f（1）=

7

6

得到切点坐标，写出切线方程化简即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=3ax²-2x+b，
又f（x）在区间（-∞，0）及（4，+∞）上都是增函数，在区间（0，4）上是减函数，
∴f'（0）=0，b=0．
又f′(4)=0，a=

1

6

.
（II）∵f(x)=

1

6

x3-x2+2，得f′(x)=

1

2

x2-2x.
当x=1时，f′(1)=-

3

2

.
此时y=f(1)=

7

6

.
即切线的斜率为-

3

2

，切点坐标为（1，

7

6

）．
所求切线方程为9x+6y-16=0．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力．