题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若函数
的零点至少有两个，求实数
的最小值.
【答案】（1）单调递增区间为
， 
，单调递减区间为
.（2）3
【解析】（1）第（1）问，直接利用导数求函数的单调区间.(2)第（2）问， 
至少有两个根，再构造函数
，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的图像，数形结合得到实数a的最小值.
试题解析：
（1）当
时， 
，所以有
，
令
所以当
或
时， 
， 
单调递增；
当
时， 
， 
单调递减.
故
的单调递增区间为
， 
，单调递减区间为
.
（2）令
，其在区间
内至少有两个根，则
至少有两个根，
记
，
所以
，
记
，
所以
，
令
（
舍）
所以当
时， 
， 
单调递减， 
时， 
， 
单调递增，
所以
的最小值为
，
又
，所以
时， 
，
又当
时， 
，
因此必存在唯一的
，使得
，
因此
时， 
， 
单调递增， 
， 
， 
单调递减，
时， 
， 
单调递增，画出
的大致图象，如图所示，
因此函数
的极小值为
，极大值为
，
又由于
，
因此当
时，或
时，数形结合易知函数
有2个零点，
当
时，函数
有3个零点.
综合得函数
的零点至少有两个时，实数
的最小值为3.
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