题目内容

已知函数,函数

⑴当时,求函数的表达式;

⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值;

⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.

 

【答案】

(1)  (2) = - 2ln2 +ln3

【解析】

导数部分的高考题型主要表现在：利用导数研究函数的性质，高考对这一知识点考查的要求是：理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。⑴∵,∴当时,; 当x<0时,∴当x>0时,; ………………2’

当时,

∴当时,函数………………………………………….4’

⑵∵由⑴知当时,,…………………………………………………..5’

∴当时, 当且仅当时取等号………………………7’

∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴…….8’

⑶由解得…………………………….10’

∴直线与函数的图象所围成图形的面积= - 2ln2 +ln3

 

练习册系列答案
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已知函数f（x）=x2+（k-2）x+2k-1
（1）若f（1）=16，函数g（x）是R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），
（i）求实数k与g（0）的值；
（ii）当x＜0时，求g（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0的两根中，一根属于区间（0，1），另一根属于区间（1，2），求实数k的取值范围．
已知函数f（x）=ex+2x2-3x．
（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，
e
≈1.6，e0.3≈1.3）
（Ⅱ）当x≥
1
2
时，若关于x的不等式f(x)≥
5
2
x2+(a-3)x+1恒成立，试求实数a的取值范围．
定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x） 在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对?x1，x2∈R+，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]与x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2n），若
2n
i=1
xi=1，证明：
2n
i=1
xilnxi≥-ln2nln
1
3S(n)-2
（i，n∈N*）．
精英家教网已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．给出关于f（x）的下列命题：
x -1 0 4 5
f（x） 1 2 2 1
①函数y=f（x）在x=2时，取极小值；
②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
④如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5．
其中所有正确命题序号为
 
．．
已知函数f（x）=ln x-
b
x
（b为实数）
（1）若b=-1，求函数f（x）的极值；
（2）若函数M（x）满足M（x）≥N（x）恒成立，则称M（x）是N（x）的一个“上界函数”．
①如果函数f（x）为g（x）=-Inx的一个“上界函数”，求b的取值范围；
②若b=0，函数F（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，求证：当x∈（-2，+∞）时，函数F（x）是函数y=f(
x
2
+1)+
x
2
+1的一个“上界函数”．

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