Question

设双曲线C：=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且．求a的值．

Answer 1

解：（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以
解得0＜a＜且a≠1．
双曲线的离心率
．
∵且a≠1，
∴且
即离心率e的取值范围为．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵，
∴．
由此得．
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以．
x₁•x₂=．
消去x₂，得
由a＞0，所以a=．
分析：（I）把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围，进而利用a和c的关系，用a表示出离心率，根据a的范围确定离心率的范围．
（II）设出A，B，P的坐标，根据求得x₁和x₂的关系式，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，联立方程求得a．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．