题目内容
已知椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）已知定点M（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于A、B两点．问：是否存在k的值，使以AB为直径的圆过M点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
分析：（I）由椭圆
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为
，结合a2=b2+c2，求出a，b可得椭圆的方程．
（Ⅱ）若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点，则MA⊥MB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
•
=-1，即y1•y2+（x1+1）（x2+1）=0，构造方程求出k值即可．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（Ⅱ）若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点，则MA⊥MB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
| y1 |
| x1+1 |
| y2 |
| x2+1 |
解答：解：（I）∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为
，
∴b=1，e=
=
∴b2=1，
=
结合a2=b2+c2得：a2=3
∴椭圆的标准方程为
+y2=1
（II）假若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点
由
得：（1+3k2）x2+12kx+9=0
则△=（12k）2-36（1+3k2）=36（k2-1）＞0
解得：k＜-1，或k＞1…①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1•x2=
∴y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2（x1•x2）+2k（x1+x2）+4
要使以AB为直径的圆过M点
当且仅当MA⊥MB，即
•
=-1，即y1•y2+（x1+1）（x2+1）=0时满足条件
∴k2（x1•x2）+2（k+1）（x1+x2）+5=0
即k2（
）+2（k+1）（
）+5=0
解得k=
经检验k=
满足条件
综上可知，存在k=
使以AB为直径的圆过M点
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
∴b=1，e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
∴b2=1，
| c2 |
| a2 |
| 2 |
| 3 |
结合a2=b2+c2得：a2=3
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 3 |
（II）假若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点
由
|
则△=（12k）2-36（1+3k2）=36（k2-1）＞0
解得：k＜-1，或k＞1…①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| -12k |
| 1+3k2 |
| 9 |
| 1+3k2 |
∴y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2（x1•x2）+2k（x1+x2）+4
要使以AB为直径的圆过M点
当且仅当MA⊥MB，即
| y1 |
| x1+1 |
| y2 |
| x2+1 |
∴k2（x1•x2）+2（k+1）（x1+x2）+5=0
即k2（
| 9 |
| 1+3k2 |
| -12k |
| 1+3k2 |
解得k=
| 7 |
| 6 |
经检验k=
| 7 |
| 6 |
综上可知，存在k=
| 7 |
| 6 |
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解答的关键．
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