Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15；
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）若

a1

3

+b1，

a2

3

+b2，

a3

3

+b3成等比数列，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意a_n+1=2S_n+3，递推出an的表达式，然后两式相减，即可发现a_n为等比数列，从而求出a_n的通项公式；
（2）由（1）数列{a_n}的通项公式，把a₁，a₂和a₃带进去，再根据等比数列的性质求出，b₁，b₂，b₃，推出b_n的通项公式，然后再求其前项和T_n．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+3，得a_n=2s_n-1+3（n≥2）（2分）
相减得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1-a_n=2a_n，则

an+1

an

=3（4分）
∵当n=1时，a₂=2a₁+3=9，
∴

a2

a1

=3（5分）
∴数列{a_n}是等比数列，∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（6分）
（2）∵b₁+b₂+b₃=15，b₁+b₃=2b₂，∴b₂=5（7分）
由题意(

a2

3

+b2)2=(

a1

3

+b1)(

a3

3

+b3)，而

a1

3

=1，

a2

3

=3，

a3

3

=9
设b₁=5-d，b₂=5，b₃=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
∴d²+8d-20=0，得d=2或d=-10（舍去）（10分）
故Tn=nb1+

n(n-1)

2

d=3n+

n(n-1)

2

•2=n2+2n（12分）

点评：此题主要考查等比数列和等差数列的性质，根据数列的递推法求其通项公式，还考查了等比数列的前n项的和，这是比较基础的应用．