题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
15
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-
6
5
，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（1）设P（x0，y0），∵|OP|=
15
2
，∴x02+y02=
15
4
①
又
PF1
•
PF2
=
3
4
，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=
3
4
，即x02-c2+y02=
3
4
②
①代入②得：c=
3
．又e=
3
2
，∴a=2，b=1．
故所求椭圆方程为
x2
4
+y2=1；
（2）直线l的方程为y=k(x+
6
5
)，
联立
y=k(x+
6
5
)
x2
4
+y2=1
，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0．
x1+x2=-
240k2
25+100k2
，x1x2=
144k2-100
25+100k2
．
设AB的中点M（x0，y0），
则x0=-
120k2
25+100k2
，y0=k(
6
5
-
120k2
25+100k2
)=
30k
25+100k2
．
所以kMQ=
30k
25+100k2
2-
120k2
25+100k2
=
3k
5+8k2
．
若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，
即
3k
5+8k2
•k=-1，此式无解，
所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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