题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过 $数学公式$ 且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．

解：设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）由已知可得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两式相减得： $\text{[math]}$ ．
∵P是AB的中点，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
代入上式可得直线AB的斜率为 $\text{[math]}$ ，
∴直线l的方程为2x-4y+3=0．
当直线l的斜率不存在时，将 $\text{[math]}$ 代入椭圆方程并解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
这时AB的中点为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 不符合题设要求．
综上，直线l的方程为2x-4y+3=0．
分析：（Ⅰ）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，由题意可得 $\text{[math]}$ ，解出即可；
（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l的斜率存在时，利用平方差法：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程作差，根据斜率公式、中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式即可求得此时直线方程；当直线斜率不存在时，求出点A、B坐标，检验即可；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，凡涉及弦中点问题一般可考虑“平方差”法，即设出弦端点坐标，代入圆锥曲线方程作差，由中点坐标公式及斜率公式可得弦斜率及中点坐标关系．