Question

已知f(x)=

1

x+2

，点A₀表示原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

an

与向量

i

=(1，0)的夹角，

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

，设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，则

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

分析：由题可知：利用向量求和及向量夹角概念可得tanθ_n=

f(n)

n

=

1

n×(n+2)

，再利用数列裂项相消求和知识及极限运算法则可得解．

解答：解：由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An，
又有f(x)=

1

x+2

，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），
向量

an

与向量

i

=(1，0)的夹角为θ_n即线段A₀A_n与x轴夹角也为θ_n，
由此可知tanθ_n=

f(n)

n

=

1 n+2

n

=

1

n×(n+2)

，
又设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，
由tanθ_n=

1

n×(n+2)

=（

1

n

-

1

n+2

）×

1

2

，
利用数列裂项相消求和公式可得：
S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=

1

2

×（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

×（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）．
∴

lim

n→∞

Sn=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：本题是向量与极限结合的综合题．
（1）要熟练掌握向量运算的多边形法则及向量夹角概念．
（2）对数列求和的裂项相消方法及极限运算法则也要灵活掌握．以上两点也是考试重点．