Question

已知数列{a_n}中各项为：12、1122、111222、

11…1

个n

22…2

n个

（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积．
（2）求这个数列前n项之和S_n．

Answer 1

（1）a_n=

1

9

（10ⁿ-1）•10ⁿ+

2

9

（10ⁿ-1）（2分）
=

1

9

（10ⁿ-1）（10ⁿ+2）=（

10n-1

3

）（

10n-1

3

+1）（4分）
记：A=

10n-1

3

，则A=

33…3

n个

为整数
∴a_n=A（A+1），得证（6分）
（2）∵a_n=

1

9

10²ⁿ+

1

9

10ⁿ-

2

9

（8分）
S_n=

1

9

（10²+10⁴+…+10²ⁿ）+

1

9

（10+10²+…+10ⁿ）-

2

9

n
=

1

891

（10²ⁿ⁺²）+11•10ⁿ⁺¹-198n-210（12分）